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    未知 admin發布時間 2019-05-23 11:26

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        量子計算機不僅僅是大規模并行的經典計算機。人們常常認為,由于量子比特可以同時占據0和1,因此n比特量子計算機可以同時處于2 的n次方 個狀態,因此可以非??焖俚赜嬎鉔P。
    其實情況并非如此,因為測量量子態會破壞大部分原始信息。例如,量子系統完全了解物體的動量和位置,但任何動量測量都會破壞有關位置的信息,反之亦然。這被稱為海森堡不確定性原理。
    因此,成功的量子算法由量子比特的一系列變換組成,使得在計算結束時,測量系統的狀態不會破壞所需的信息。事實上,已經證明,不存在量子算法同時嘗試解決某些NP完全問題并輸出正確的量子算法。換句話說,任何用于解決硬經典問題的量子算法都必須利用具體結構。

    今天,有兩種這樣的算法可用于密碼分析。

    快速計算大數的能力將破壞RSA和離散的基于日志的加密。整數分解的最快算法是一般數字域篩,它在亞指數時間內運行。

    在1994年,Peter Shor開發了一種用于整數分解的量子算法(Shor算法),該算法在多項式時間內運行,因此能夠破壞任何RSA或離散的基于對象的密碼系統(包括那些使用橢圓曲線的密碼系統)。這意味著如果有人要構建量子計算機,那么所有廣泛使用的公鑰密碼都是不安全的。

    第二個是Grover的算法,它能夠在O(√n)時間內反轉函數。該算法會通過根因子降低對稱密鑰加密的安全性,因此AES-256只能提供128位的安全性。類似地,找到256位散列函數的前映像只需要2 128次。由于將哈希函數或AES的安全性提高兩倍并不是非常繁瑣,因此Grover的算法不會對對稱加密造成嚴重威脅。此外,建議用于加密使用的偽隨機數發生器,都不會受到量子計算機發明的影響,除非Grover算法引起的O(√n)因子。

    2.后量子算法的類型

    后量子密碼學是對密碼系統的研究,它可以在經典計算機上運行,即使對手擁有量子計算機也是絕對安全的。

    最近,NIST啟動了標準化后量子加密的過程,目前正在審查第一輪提交。這些提交中最有希望的包括基于格,同源,Hash函數和編碼的密碼系統。

    在深入研究每類提交之前,我們簡要總結一下每種類型的密碼系統固有的權衡,并與當前(非后量子)橢圓曲線密碼學進行比較。請注意,代碼和同基因能夠生成數字簽名,但沒有向NIST提交此類方案。

    表1:提交給NIST的經典ECC與后量子方案的比較

    在安全性證明方面,上述密碼系統都沒有減少到NP-Hard(或NP完全)問題。在格和編碼的情況下,這些密碼系統基于NP難問題的輕微修改?;谏⒘械臉嬙煲蕾囉诹己蒙⒘泻瘮档拇嬖?,并且不進行其他加密假設。

    最后,基于同基因的密碼學基于一個被推測為難的問題,但與NP-Hard問題或先前的加密假設不相似。然而,值得一提的是,正如我們無法證明任何經典算法在多項式時間內都不易破碎(因為P可能等于NP),可能是量子計算機認為難以解決的問題。此外,一個不會減少到一些NP難或完整問題的密碼系統本身不應該是一個標記。

    3.格

    在后量子加密的所有方法中,對格子的研究是最活躍和最靈活的。它們具有很強的安全性,可以進行密鑰交換,數字簽名以及完全同態加密等更復雜的構造。盡管格子密碼系統的優化和安全性證明都需要極其復雜的數學,但基本思想只需要基本的線性代數。假設您有一個形式的線性方程組,比如說:

     

    求解x是一個經典的線性代數問題,可以使用高斯消元法快速求解。另一種思考方式是我們有一個神秘的功能,

    給定一個向量的地方a,我們看到了結果ax,而不知道x。在查詢此函數足夠多次后,我們可以在很短的時間內得到f(通過求解上面的方程組)。這樣我們就可以將線性代數問題重新定義為機器學習問題。

    現在,假設我們引入少量噪聲到我們的功能,使相乘后x和a,我們增加一個誤差項e,降低了整個事情的一個模(中型)q

     

    學習這種帶噪的神秘函數已經在數學上被證明是非常困難的。直覺是在我們在非噪聲情況下使用的高斯消除過程的每一步中,誤差項變得越來越大,直到它超越了關于函數的所有有用信息。在密碼學文獻中,這被稱為帶有錯誤學習問題(LWE)。

    基于LWE的密碼學被稱為基于格的密碼學的原因,已知NP-Hard,LWE難以證明依賴于在稱為格子的東西中找到最短向量。我們不會在這里深入研究格子的數學,但可以認為格子是n維空間的平鋪

     

    格子由坐標向量表示。在上面的例子中,晶格的任何點可通過將達到(經由正常矢量相加)。最短向量問題(SVP)說:給定一個點陣,找到長度為向量的元素最短。很難的直觀原因是并非所有給定晶格的坐標系都同樣易于使用。在上面的例子中,我們可以用三個非常長且靠近的坐標向量來表示晶格,這使得尋找靠近原點的向量更加困難。事實上,有一種規范的方法可以找到格子的“最壞可能”表示。當使用這樣的表示時,已知最短向量問題是NP-hard。

    在研究如何使用LWE進行抗量子密碼學之前,我們應該指出LWE本身不是NP-Hard。它不是直接降低到SVP,而是降到SVP的近似值,推測它是不是NP-Hard。盡管如此,目前還沒有用于求解LWE的多項式(或次指數)算法。

    現在讓我們使用LWE問題來創建一個實際的密碼系統。最簡單的方案是由Oded Regev在他的原始論文中創建的,證明了LWE問題的硬度。這里,秘密密鑰是具有整數條目mod的n維向量q,即上面提到的LWE秘密。公鑰是A前面討論的矩陣,以及LWE函數的輸出向量


     

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